Wer eine Wohnung sucht, kennt das Dilemma. Die dritte Besichtigung ist ordentlich, der Preis stimmt, aber man hat erst drei gesehen. Sagt man zu, fragt man sich später, was noch gekommen wäre. Sagt man ab, ist die Wohnung weg, und vielleicht war sie die beste. Bei der Partnersuche ist es im Grunde dasselbe Problem, nur mit höherem Einsatz, und genau dafür gibt es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein erstaunlich klares Ergebnis. Man nennt es die 37-Prozent-Regel.
Die Regel geht so: Wenn Sie wissen, wie viele Kandidaten insgesamt infrage kommen, dann sehen Sie sich die ersten 37 Prozent davon an, ohne sich festzulegen. Sie merken sich nur, wer der Beste in dieser Gruppe war. Danach nehmen Sie den ersten Kandidaten, der besser ist als alle bisherigen. Mit dieser Strategie erwischen Sie den allerbesten mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 37 Prozent. Das klingt bescheiden, ist aber viel mehr, als man zunächst erwarten würde. Bei hundert Bewerbern und blindem Zugreifen läge die Chance bei einem Prozent.
Die Zahl 37 ist keine runde Faustformel, sondern steckt in der Mathematik selbst. Sie ist der Kehrwert der Eulerschen Zahl e, also 1/e ≈ 0,368. Bemerkenswert daran ist, dass derselbe Wert zweimal auftaucht: Man soll ungefähr den Anteil 1/e der Kandidaten verstreichen lassen, und die Erfolgswahrscheinlichkeit ist dann ebenfalls ungefähr 1/e. Wer die Herleitung sehen möchte, findet sie Schritt für Schritt auf der Seite zum Sekretärinnenproblem, dort auch mit genauen Werten für kleine Kandidatenzahlen.
Ich bin in meinem Berufsleben als Aktuar ständig mit solchen Fragen umgegangen, allerdings unter anderem Namen. In der Versicherungsmathematik fragt man zum Beispiel, wann man eine Option ausübt oder wann ein Vertrag umgestellt werden sollte. Optimales Stoppen heißt das Fachgebiet. Dass die Partnerwahl ein Lehrbuchbeispiel dafür ist, habe ich zum ersten Mal in einem Seminar in Hamburg gehört, und ich erinnere mich, dass der ganze Raum gelacht hat. Die Studenten, mich eingeschlossen, waren damals ungefähr in dem Alter, für das die Frage nicht mehr ganz theoretisch war.
Die schönste historische Geschichte dazu stammt von Johannes Kepler. Seine erste Frau Barbara starb im Juli 1611. Kepler zog bald darauf nach Linz und machte sich an die Suche nach einer neuen Ehefrau, mit der Gründlichkeit, die man von einem Mann erwartet, der die Marsbahn aus Tycho Brahes Messreihen herausgerechnet hat. In einem langen Brief vom 23. Oktober 1613 an einen Adligen, dessen Name nicht sicher überliefert ist, beschreibt er seine elf Kandidatinnen der Reihe nach, mit Vorzügen, Bedenken und den Einwänden seiner Freunde. Die vierte, groß und sportlich, gefiel ihm offenbar sehr, und eine Zeit lang schwankte er zwischen ihr und der fünften, auch weil wohlmeinende Bekannte sich einmischten. Danach kamen noch sechs weitere ins Gespräch, darunter eine reiche, aber viel zu junge Adlige, und mehrere Verhandlungen scheiterten. Geheiratet hat er am 30. Oktober 1613 in Eferding die Kandidatin Nummer fünf, Susanna Reuttinger, eine 24-jährige Waise aus Eferding, von der seine Umgebung eher abgeraten hatte. Die Ehe war nach allem, was man weiß, deutlich glücklicher als die erste.
In vielen populären Darstellungen liest man, Kepler habe dabei die 37-Prozent-Regel entdeckt oder sogar Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet. Das halte ich für eine nachträgliche Verschönerung. Im Brief rechnet er nichts, er wägt ab und deutet sein Zögern religiös. Und das Entscheidende: Er ist nach der sechsten, siebten und weiteren Kandidatin zur fünften zurückgekehrt. Genau das verbietet das mathematische Modell. Der Fall Kepler zeigt deshalb eher, wo die Regel nicht passt, als dass er sie bestätigt. Zum Spaß habe ich trotzdem nachgerechnet: Bei elf Kandidatinnen sagt die Regel, man solle vier ansehen und dann bei der ersten Besseren zugreifen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit liegt dann bei knapp 40 Prozent. Nach der Regel hätte Kepler die fünfte also tatsächlich nehmen müssen, sofern sie besser war als die ersten vier. Nach seinem eigenen Urteil war sie das wohl nicht, sonst hätte er nicht sechs weitere angesehen.
Aufgeschrieben wurde das Problem in moderner Form erst im 20. Jahrhundert. Martin Gardner stellte es im Februar 1960 in seiner Kolumne im Scientific American einem breiten Publikum vor, als Spiel mit Zetteln, auf denen beliebige Zahlen stehen. Der Statistiker Thomas Ferguson hat 1989 die verwickelte Vorgeschichte in einem Aufsatz mit dem schönen Titel „Who Solved the Secretary Problem?“ aufgearbeitet. Wer mehr zu den Namen wissen will, findet sie in der Quellenliste und im Wikipedia-Artikel zum Sekretärinnenproblem.
Nun zu den Grenzen, denn die sind bei der Partnersuche erheblich. Das Modell macht vier Annahmen, und keine davon stimmt im Leben so richtig.
Erstens setzt es voraus, dass man die Zahl der Kandidaten kennt. Niemand weiß, wie vielen möglichen Partnern er im Leben begegnen wird. Man behilft sich, indem man statt der Anzahl die Zeit nimmt. Wer sich vornimmt, zwischen 18 und 40 zu suchen, würde nach dieser Lesart bis etwa Mitte zwanzig nur schauen und danach zugreifen. Mathematisch ist diese Übersetzung vertretbar, denn für eine zeitlich gleichmäßig verteilte Folge von Begegnungen gilt ein ähnliches Ergebnis. Praktisch hängt dann aber alles an der gewählten Obergrenze, und die setzt man ziemlich willkürlich.
Zweitens zählt im Modell nur der Beste. Der Zweitbeste ist genauso wertlos wie der Schlechteste. Das ist eine seltsame Zielfunktion für ein Leben. Wer lieber mit hoher Sicherheit einen sehr guten Partner hätte als mit 37 Prozent Wahrscheinlichkeit den besten, sollte früher bereit sein zuzugreifen und seine Ansprüche im Lauf der Suche schrittweise senken. Genau so sieht die optimale Strategie aus, wenn man statt des Besten den erwarteten Rang optimiert. Nicht vergessen sollte man auch die Kehrseite der Regel: In etwa 37 Prozent der Fälle war der Beste schon in der Beobachtungsphase dabei. Dann kommt nie wieder jemand, der ihn übertrifft, und man steht am Ende mit leeren Händen da.
Drittens geht das Modell davon aus, dass man abgelehnte Kandidaten nie zurückholen kann. Kepler konnte es. Im wirklichen Leben ist es manchmal möglich, manchmal nicht, und schon eine kleine Chance auf Rückkehr verschiebt die optimale Strategie in Richtung längeres Suchen.
Viertens, und das ist der gewichtigste Punkt, sagt im Modell niemand Nein. Die Kandidatin wartet brav, bis sie ausgewählt wird. In Wirklichkeit trifft die andere Seite ihre eigene Entscheidung, nach ihren eigenen Regeln. Sobald man das berücksichtigt, hat man es nicht mehr mit einem Stoppproblem zu tun, sondern mit einem Zuordnungsproblem, bei dem beide Seiten Präferenzen haben. Damit sind wir bei den stabilen Paaren von Gale und Shapley, einem ganz anderen und in mancher Hinsicht passenderen Modell.
Meine Frau und ich haben uns 1979 auf einer Fete von Studenten kennengelernt. Ich hatte vorher niemanden systematisch beobachtet, und sie behauptet bis heute, dass sie an dem Abend eigentlich wegen einer anderen Person hingegangen war. Keiner von uns hat eine Regel befolgt. Als ich ihr die 37-Prozent-Regel einmal erklärt habe, hat sie nur gefragt, in welches Drittel sie gefallen sei. Ich habe klugerweise gesagt, das die Frage mathematisch unzulässig ist.
Was bleibt, ist ein nützlicher Gedanke, keine Gebrauchsanweisung. Eine Zeit lang nur zu schauen, um überhaupt einen Maßstab zu bekommen, ist vernünftig. Ewig zu schauen ist es nicht. Und wer zu früh zugreift, weiß schlicht zu wenig. Mehr als diese drei Sätze sollte man aus der Formel für das eigene Liebesleben nicht herauslesen, und das sagt einer, der sein Geld dreißig Jahre lang mit Formeln verdient hat.